Dinâmica de populacões: de angstroms a quilômetros, de íons a "sapiens"

Wilson Castro Ferreira Jr.

O termo "Dinâmica de Populações" usualmente evoca no leitor não especialista a idéia de Demografia e censo estatístico ou mesmo outras interpretações com significados ainda mais distantes daquele empregado na Biomatemática contemporânea. Na verdade, a Dinâmica de Populações é uma poderosa síntese matemática que permite identificar, transferir e interfertilizar diversas teorias da Biologia Teórica, desde o nível molecular em Processos Físico-Químicos, passando pelo nível celular em Fisiologia, e chegando até a Epidemiologia e a Sociobiologia de organismos superiores, o que inclui naturalmente as sociedades humanas. Sem essa teoria, áreas de conhecimento tão distintas e variadas na sua origem biológica tenderiam a permanecer amarradas e obscurecidas pelo jargão paroquial específico, inatingíveis às técnicas matemáticas e aos desenvolvimentos conceituais de outras áreas resultando assim em um enorme desperdício e confusão intelectual, não de todo raro em Biologia.

Na via de influência aberta pelas aplicações da Matemática à Biologia observa-se também nos últimos tempos o surgimento de um notável refluxo, na contramão do sentido original. Isto é, conceitos e argumentos já amplamente estabelecidos e de profundo significado científico em Biologia, especialmente provenientes de teorias evolucionistas e neurobiológicas, têm sugerido novas abordagens e métodos matemáticos que prenunciam um incipiente ramo de pesquisas que poderíamos denominar "Matemática Biológica".

Historicamente, essa forma de simbiose tem o seu exemplo paradigmático na interação entre a Matemática e a Física, e de tal forma bem sucedida que se supunha até pouco tempo uma característica única e impossível de ser reeditada. Exatamente pelo mesmo motivo é razoável supor que o futuro da Biomatemática como ramo científico distinto e vigoroso da matemática aplicada dependerá claramente do desenvolvimento de um trânsito duplo e relevante nos dois sentidos dessa interface. Neste caso, a Dinâmica de Populações deverá ser a moeda universal e apropriada para tal intercâmbio.

O estudo da Dinâmica de Populações ocorreu episodicamente em vários trabalhos esparsos ao longo de dois séculos desde o anedótico problema dos coelhos de Fibonacci (século XIII), passando pelo fundamental artigo de Leonhard Euler (1707 -1783) em 1760, ("A general investigation into the mortality and multiplication of the human species", Th. Pop. Biol. 1 1970, 307-314), até os trabalhos do matemático Vito Volterra e do químico Alfred Lotka no princípio do século XX. Entretanto, uma certa coerência de princípios e técnicas que caracterizam uma área de conhecimento bem definida somente ocorreu com nitidez na segunda metade avançada do século XX, portanto bem recentemente.

O objetivo final da Dinâmica de Populações é a descrição do número de indivíduos de uma população ao longo do tempo, este, uma variável que pode ser representada discreta ou continuamente. O que diferencia a dinâmica populacional da Demografia no sentido estatístico são os meios pelos quais se pretende estabelecer essa descrição. Em Demografia utiliza-se métodos estatísticos alimentados por dados de observações passadas com o objetivo de fornecer uma distribuição probabilística de cenários futuros. Em Dinâmica Populacional as informações biológicas são transformadas em hipóteses teóricas básicas que alimentam conceitualmente um modelo matemático cuja finalidade é descrever a evolução temporal do sistema a partir de cada dado inicial.

Os modelos matemáticos da Dinâmica de Populações são representados por uma estrutura matemática às vezes denominada sistema dinâmico markoviano, onde o estado do sistema, (isto é, aquilo que se descreve a respeito da população), é determinado inequivocamente ao longo do tempo, (em geral como solução de uma equação recursiva finita ou "infinitesimal"), uma vez conhecido o seu estado inicial. O conceito de sistema dinâmico markoviano expressa matematicamente princípios de causalidade e determinismo em um sentido amplo, (que inclui processos aleatórios), e de uma forma ou de outra fundamenta toda a matemática aplicada que trata de modelos matemáticos de processos temporais desde a formulação da mecânica newtoniana.

Um modelo matemático dinâmico não tem por objetivo apenas descrever a história "passada" do sistema mas sim prever os "estados futuros e ainda não observados" do sistema. Assim, o modelo matemático deve estabelecer uma dinâmica que determine as populações (quantidade de indivíduos), futuras uma vez conhecida a população atual. Suponhamos então que o estado desta população se modificará apenas por conta de nascimentos e mortes, sem processos de migração. O modelo de Malthus aborda esta questão propondo as dinâmicas mais simples para este caso:

O modelo malthusiano baseia-se na hipótese biológica de que as taxas de nascimento e morte são proporcionais ao número de indivíduos. Portanto, a informação biológica do estado presente, (que no caso consiste apenas do número total de indivíduos), deve bastar para: 1) determinar recursivamente o estado no instante seguinte no modelo discreto e, 2) estabelecer a taxa de variação em termos do estado atual, no modelo contínuo. O modelo de Malthus pode fornecer uma excelente descrição, ("caricatura"), da evolução temporal de uma população enquanto ela se mantém homogênea no que diz respeito a esses aspectos vitais.

O modelo de Malthus não contempla a variação da natalidade e da mortalidade com a distribuição etária; ele é cego para essas, (e outras tantas!), informações. Mas suponhamos, por exemplo, uma população constituída majoritariamente de idosos que produzirá menos filhos e mais mortos do que uma população com o mesmo número de indivíduos se estes agora estiverem concentrados na idade jovem. (Supõe-se que essa população seja igualmente dividida entre os dois sexos e continue sendo!). Portanto, no caso de populações com natalidade e mortalidade significativamente variáveis com a faixa etária, ainda que tivéssemos por objetivo único conhecer apenas o número total de indivíduos ao longo do tempo, independente de qualquer qualificação, reconhecemos que um modelo matemático dinâmico deverá necessariamente descrever o estado da população com maiores detalhes em cada instante; esta informação será indispensável para determinar o estado "seguinte". Euler introduziu vários conceitos que permitiram estudar populações humanas que são notoriamente heterogêneas quanto às taxas de natalidade e mortalidade etárias.

No exemplo citado acima, podemos perceber de forma clara o inevitável conflito dialético entre O DESEJÁVEL E O NECESSÁRIO que é indissociável da atividade do biomatemático. Diante desse impasse, a ingenuidade "realista" , muito comum, sempre aponta para uma solução imediatista "óbvia": a expansão liberal do estado do sistema incluindo todos os mínimos detalhes sobre a população. Entretanto, mais do que depressa, essa estratégia impensada se mostra desastrosa em decorrência das dimensões intratáveis que a dinâmica do modelo matemático assume. O "tamanho" de um modelo matemático pode ser medido pelo número de parâmetros (adimensionais) necessário para descrevê-lo e uma boa estimativa de sua complexidade é fornecida pela exponencial desse número.

O Princípio da Parcimônia, atribuído a William of Ockham (1288-1348), vem em auxílio e para consolo do biomatemático que reconhece a sua humildade diante da impotência descritiva de seus modelos que, por maior impacto científico que tenham alcançado, (e muitos já o tiveram), não passam de meras caricaturas ou, enfatizando Lee Segel, são "cabeludas mentiras" que nos auxiliam a vislumbrar minúsculos brilhos da "verdade". Este princípio, que é mais um alerta do que uma "lei" lógica, sugere como precaução filosófica fundamental a escolha da solução mais simples dentre todas as úteis e possíveis. Esse princípio em geral indica uma linha de ação sensata para o matemático aplicado pelo que minimiza de saída a possibilidade de um conflito insolúvel e paralisante, entre a ilusão de um "realismo descritivo" e a capacidade real de análise matemática do modelo, ou seja, a sua própria utilidade. Modelos matemáticos, ao contrário e à semelhança de outros, não são feitos para desfile e oclusão mas, respectivamente, para uso e transparência.

Neste ponto, é oportuno lembrar aos partidários da ciência discursiva, em geral provenientes da Biologia, que essa restrição não é específica dos modelos matemáticos; qualquer linguagem utilizada na descrição formal de fenômenos naturais está submetida à ela. Na verdade, a única descrição perfeita de um fenômeno natural é o próprio fenômeno, ocorrência por ocorrência, uma vez que jamais se reproduzem totalmente!! A função de um modelo matemático, ou qualquer que seja ele, é exatamente a "caricaturização" , ou seja, o realce de alguns aspectos de um fenômeno em detrimento do resto, e portanto, depende do ponto de vista que se deseja observar, e consequentemente do que é necessário observar.

Além disso, a simplicidade dos modelos em biomatemática, (e na matemática aplicada em geral), é um critério não apenas de elegância intelectual mas de eficiência científica. Ao contrário do que se proclama com certa ingenuidade, (no mau sentido), a sofisticação matemática de um modelo não é critério de relevância em biomatemática, em geral exatamente o oposto. O modelo matemático que descreve um fenômeno natural com o simples uso de aritmética elementar tem um valor científico incomparavelmente maior do que outro trabalho que faz o mesmo, ou apenas um pouco mais, por meio de teorias matemáticas de grande sofisticação. E, de qualquer forma, para a maioria dos problemas biológicos o mais simples dos modelos apropriados para a sua descrição pode ser suficientemente complexo para que não se deseje torná-lo ainda mais sofisticado.

A solução adotada por Euler para abordar essa questão no estudo de populações heterogêneas (quanto aos dados vitais) traz uma lição de parcimônia aplicada e exemplar nestas situações: amplia-se a descrição do "estado" do sistema para que ele contenha todas as informações necessárias, além das desejadas, mas não mais do que isto. Ou, como disse Einstein: "Um problema deve ser simplificado o máximo possível, mas não mais do que isto".

Para descrevermos as variações, contínuas ou abruptas das caracterísiticas dos indivíduos tais como representadas em um espaço de aspecto, teremos que abordar informações biológicas que descrevam o seu comportamento com respeito aos aspectos descritos no espaço de aspecto, o que nos leva a ETOLOGIA, ou, seja a subárea da Biologia que estuda o comportamento dos indivíduos. A Etologia é uma ciência rica de informações cujo desenvolvimento nas últimas décadas tem sido notável, graças aos trabalhos de Konrad Lorenz e Nikko Tinbergen para animais superiores, Rudolf Menzel, Rudiger Wehner, Jean-Louis Deneubourg, Deborah Gordon para insetos, Howard Berg, Wolfgang Alt, Lee Segel para microorganismos e células, e muitos outros.

Concluímos imediatamente que o conflito entre o desejável e o necessário tem as suas raízes na própria análise do comportamento individual: quais aspectos são necessários conhecer sobre o indivíduo em um instante, para que se possa prever esses mesmos aspectos no "instante seguinte"?

O extraordinário desafio com que se defronta o estudo da dinâmica de populações é semelhante a inúmeros outros que ocorrem em vários ramos da matemática aplicada: como transferir, parcimoniosamente e adequadamente, informações de extrema complexidade existentes no nível "microscópico" do comportamento individual para o nível de descrição coletiva e macroscópica? A interação de processos em escalas distintas dentro de um mesmo fenômeno é notoriamente um dos grandes problemas científicos contemporâneos, desde a turbulência até a ecologia.

Refletindo sobre a complexidade com que se confronta o biomatemático em decorrência da espantosa multiplicidade das escalas envolvidas, só podemos concordar com Albert Einstein quando afirmou que o notável, afinal, não é que tenhamos entendido melhor um fenômeno qualquer, mas que possamos entender qualquer coisa que seja.

O princípio fundamental que nos permite alguma compreensão é a possibilidade de separação de escalas ou, pelo menos, o acoplamento fraco entre fenômenos de escalas distintas, pois caso contrário não teríamos sequer como viver, já que os nossos sentidos apenas detectam informações na nossa escala "macroscópica", ou "microscópica", de espaço e tempo. A pressuposição de que é possível separar escalas é a própria base do método analítico com o qual Galileo desvinculou a ciência moderna da obsessão pela pedra filosofal.

Na verdade, a própria existência de vida "inteligente" é um indício claro e confortador da possibilidade de construir modelos matemáticos relevantes, isto é, caricaturas descritivas, mesmo de fenômenos extremamente complexos como a dinâmica de populações de organismos.

A análise qualitativa de um modelo, ou seja, o mapeamento dos diversos comportamentos previstos por ele com respeito aos seus parâmetros, (que inclui as "variáveis"), é tarefa característica para os métodos assintóticos; em Dinâmica de Populações esses métodos permitem uma tradução matemática entre o comportamento individual, microscópico e a dinâmica coletiva, macroscópica.

A descrição matemática desses conceitos biológicos deve-se ao modelo matemático para a dinâmica do meio contínuo formulado inicialmente por Euler no final do século XVIII. Esse trabalho de Euler constitui-se um dos grandes trunfos da matemática aplicada que tem influenciado extraordinariamente o desenvolvimento da Física e da Química até os dias de hoje e, por uma coincidência não de todo surpreendente, é um dos fundamentos da Dinâmica de Populações tal como se formula contemporaneamente.

Wilson Castro Ferreira Jr. é professor do Instituto de Matemática da UNICAMP

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Atualizado em 10/02/2002

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